Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα

Abstract

Ένα δυναμικό σύστημα είναι ένας τρόπος να περιγράφεις στο πέρασμα του χρόνου όλες τις μεταβολές των σημείων ενός χώρου {dollar}S.{dollar} Ο χώρος {dollar}S{dollar} θα μπορούσε να είναι ας πούμε όλες οι καταστάσεις ενός φυσικού συστήματος, ή στη μηχανική το σύνολο όλων των πιθανών θέσεων και ταχυτήτων του συστήματος.Η παρούσα πτυχιακή εργασία είναι μια εισαγωγή στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων. Ξεκινάμε την μελέτη μας με τα γραμμικά συστήματα στο επίπεδο και τα πορτραίτα κίνησης τους. Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζουμε τα γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων δυο διαστάσεων καθώς και κάποιες έννοιες που χρειαζόμαστε από την γραμμική άλγεβρα. Επιπλέον θα δούμε με τα πορτρέτα φάσης πως συμπεριφέρονται οι λύσεις τωνσυστημάτων σε σχέση με τις ιδιοτιμές τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα δούμε μερικά στοιχεία γραμμικής άλγεβρας που θα μας χρειαστούν για τα γραμμικά συστήματα υψηλότερης διάστασης. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνουμε ένα παράδειγμα ενός αρμονικού ταλαντωτή, χρησιμοποιώντας όσα είδαμε στο κεφάλαιο αυτό, και ορίζουμε την εκθετική συνάρτηση πίνακα. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουμε κάποιες βασικές έννοιες των μη γραμμικών συστημάτων .