Τμήμα Μαθηματικών
Μόνιμο URI για αυτήν τη συλλογήhttps://hellanicus.lib.aegean.gr/handle/11610/5691
Περιηγούμαι
Πρόσφατες Υποβολές
Τεκμήριο Παραγωγή εξισώσεων κίνησης ρευστών και εφαρμογές(2024-10-08) Πατμανίδης, ΙωάννηςΣτην εργασία αυτή γίνεται μελέτη των εξισώσεων κίνησης στα ιδανικά ρευστά, κατά κύριο λόγο, και πως αυτές παράγονται. Αφού γίνει μια θεμελίωση βασικών εννοιών ,όπως στοιχεία από το Διανυσματικό Λογισμό, τους Τανυστές, τη Θερμοδυναμική και τη Στατιστική Μηχανική, προσπαθούμε να προσαρμόσουμε τις γνώσεις που έχουμε από την Κλασσική Μηχανική στη Ρευστομηχανική. Αυτό γίνεται με την υπόθεση του Συνεχούς όπου αντικαθιστούμε το ρευστό με μοριακή διακριτή δομή, με ένα συνεχές μέσο ρευστού, το οποίο έχει συνεχή δομή. Έτσι, μπορούμε κάθε φυσική ιδιότητα (πυκνότητα, πίεση, ταχύτητα σωματιδίου κ.τ.λ.) σε κάθε σημείο του χώρου να την εκφράσουμε με παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τις δύο μεθόδους περιγραφής της κίνησης, αυτή του Lagrange και αυτή του Euler. Του Lagrange είναι χρήσιμη για τη μελέτη διακριτών σωματιδίων όπως συνήθως κάνουμε στη Μηχανική. Αντίθετα, η μέθοδος Euler είναι πεδιακή περιγραφή και άρα είναι χρήσιμη για να μελετήσουμε τα ρευστά. Ειδικότερα, χρησιμοποιούμε την περιγραφή Euler για να εκφράσουμε τους νόμους διατήρησης, οι οποίοι είναι κρίσιμοι για την παραγωγή των εξισώσεων κίνησης. Επιπρόσθετα, κάνουμε αναφορά των εξισώσεων Navier Stokes και του θεωρήματος Helmholtz Hodge. Τέλος, ως εφαρμογή της γενικής μας μελέτης εφαρμόζουμε τα παραπάνω στη ροή δυναμικού, δηλαδή για αστρόβιλες και ασυμπίεστες ροές. Μελετάμε κάποιες βασικές ιδιότητες και παρουσιάζουμε τα βασικά είδη ροής. Έπειτα χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της προσθετικότητας των λύσεων για την εξίσωση Laplace, βλέπουμε ότι οι σύνθετες ροές προκύπτουν με γραμμικό συνδυασμό των βασικών ροών.Τεκμήριο Αναγνώριση αντικειμένων με χρήση τεχνολογιών βαθιάς μάθησης(2024-10-15) Κουράφαλος, ΙωάννηςΣκοπός της παρούσας πτυχιακής εργασίας είναι η ανάδειξη τεχνολογιών βαθιάς μάθησης που αξιοποιούνται για την αναγνώριση αντικείμενων από είσοδο εικόνας ή βίντεο. Αρχικά, γίνεται μία εισαγωγή στην μηχανική μάθηση που αποτελεί τα θεμέλια για την διερεύνησή όλων των μοντέλων μάθησης και στην συνέχεια εμβαθύνουμε στα νευρωνικά δίκτυα. Εξετάζουμε την εξέλιξη των νευρωνικών δικτύων ανά τα χρόνια και αναφέρουμε τις βασικές διαφορές με τα μοντέλα μηχανικής μάθησης ενώ μελετάμε βασικά εργαλεία που συμβάλλουν στην αποδοτικότητα των μοντέλων να διαχειρίζονται μεγάλες βάσεις δεδομένων. Κατόπιν, εξετάζουμε την σύνδεση των νευρωνικών δικτύων με την αναγνώριση αντικειμένων και τον τρόπο με τον οποίο εφαρμόζουμε αυτά τα μοντέλα.. Επιπροσθέτως, παρουσιάζουμε τα κύρια στοιχεία και την εξέλιξη του αλγορίθμου YOLO από την πρώτη έκδοση μέχρι την όγδοη, που εμφανίστηκε το 2023. Τέλος, παρουσιάζουμε μία εφαρμογή των ανωτέρω στον τομέα του αθλητισμού για τον εντοπισμό και την ανάλυση σημαντικών δεδομένων για τα στατιστικά ενός αγώνα ποδοσφαίρου σε πραγματικό χρόνο.Τεκμήριο Γενικευμένα γραμμικά μοντέλα με εφαρμογές στην R(2024-09-23) Μποντουριάν, ΧατσίκΣκοπός αυτής της πτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη των γραμμικών και γενικευμένων γραμμικών μοντέλων. Περιγράφονται οι μέθοδοι εκτίμησης των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται και οι μέθοδοι ελέγχου καταλληλότητας του μοντέλου με έμφαση στις δίτιμες μεταβλητές και τη λογιστική παλινδρόμηση, καθώς και την Poisson παλινδρόμηση. Τέλος για την πλήρη κατανόηση του αναγνώστη, θα υπάρχουν ασκήσεις με χρήση του στατιστικού πακέτου R.Τεκμήριο Εισαγωγή στους αριθμούς φιμπονάτσι(2022-09) Φραγκάκης, ΚωνσταντίνοςΗ παρούσα πτυχιακή εργασία εξετάζει δύο από τις σημαντικότερες αριθμητικές ακολουθίες στα μαθηματικά — τους αριθμούς Fibonacci και τους Καταλανικούς αριθμούς — αναδεικνύοντας τη μαθηματική τους δομή, τις ιδιότητές τους και τις ευρύτερες εφαρμογές τους. Η μελέτη ξεκινά με μια ιστορική αναδρομή στη ζωή και το έργο του Λεονάρντο του Πίζα (Fibonacci), ο οποίος εισήγαγε την περίφημη ακολουθία μέσα από το «Πρόβλημα των Κουνελιών» στο Liber Abaci (1202). Παρουσιάζεται ο αναδρομικός ορισμός της ακολουθίας και διερευνώνται θεμελιώδεις ιδιότητες, όπως οι σχέσεις διαιρετότητας, τα αθροίσματα και οι τύποι επαγωγής που τη διέπουν.Στη συνέχεια, μέσα από ποικίλα παραδείγματα, αναδεικνύονται οι τρόποι με τους οποίους οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται σε συνδυαστικά προβλήματα, σε δυαδικές συμβολοσειρές, σε συνθέσεις και παλινδρομήσεις αριθμών, καθώς και σε γεωμετρικές εφαρμογές, όπως τα προβλήματα πλακιδίων και κινήσεων σε σκακιέρες. Οι αριθμοί αυτοί αποδεικνύονται καθολικά παρόντες, από τη φύση και την τέχνη έως την πληροφορική και τη θεωρία αριθμών.Η εργασία επεκτείνεται στους Καταλανικούς αριθμούς, παρουσιάζοντας τον ορισμό τους, τις σχέσεις με τους Fibonacci, καθώς και εφαρμογές τους . Μέσα από αποδείξεις και παραδείγματα, αναδεικνύεται η βαθιά αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των δύο ακολουθιών και η σημασία τους στη μαθηματική σκέψη.Συνολικά, η εργασία προσφέρει μια ολοκληρωμένη παρουσίαση της θεωρίας και των εφαρμογών των αριθμών Fibonacci και Catalan, υπογραμμίζοντας τη διαχρονική τους συμβολή στα μαθηματικά και στις επιστήμες.Τεκμήριο Περιβάλλουσα Άλγεβρα Lie(2024-09-27) Ντόβας, ΕυάγγελοςΣτο πρώτο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στις άλγεβρες lie δίνοντας τον ορισμό της άλγεβρας lie καθώς δείχνουμε και κάποια πράγματα αλγεβρων lie που αποδεικνύουμε ότι είναι άλγεβρες lie. στη συνέχεια ορίζουμε την υποάλγεβρα lie μιας άλγεβρας lie καθώς και το ιδεώδες μιας άλγεβρας lie και στη συνέχεια δίνουμε παραδείγματα υποαλγεβρών lie και ιδεωδών και αποδεικνύουμε διάφορες προτάσεις λήμματα και θεωρήματα αντίστοιχα. επίσης ορίζουμε το κέντρο μιας άλγεβρας lie και αποδεικνύουμε ότι είναι ιδεώδες. στη συνέχεια ορίζουμε μια απεικόνιση από μια άλγεβρα lie σε μια άλλη και δίνουμε πότε αυτή είναι ομομορφισμος, επιμορφισμος, μονομορφισμος, ισομορφισμος και αυτομορφισμος αλγεβρων lie. Δίνουμε τον ορισμό ποτέ μια απεικόνιση είναι παραγώγιση. Επιπλέον ορίζουμε πότε μια άλγεβρα lie είναι ημιαπλη, απλή , πλήρης και δίνουμε διάφορα παραδείγματα καθώς και αποδείξεις προτάσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζουμε πότε μια απεικόνιση λέγεται πολυγραμμική και ορίζουμε το τανυστικο γινόμενο διανυσματικών χώρων και αποδεικνύουμε σημαντικές προτάσεις που θα τις χρειαστούμε στο τρίτο κεφάλαιο. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο δίνουμε τον ορισμό της άλγεβρας καθώς και πότε μια άλγεβρα λέγεται μοναδιαία και προσεταιριστικη. Επιπλέον ορίζουμε πότε μια απεικόνιση είναι ομομορφισμος, μονομορφισμος,επιμορφισμος, ισομορφισμος αλγεβρων. έπειτα ορίζουμε την τανυστικη άλγεβρα ενός διανυσματικού χώρου και μετέπειτα την τανυστικη άλγεβρα μιας άλγεβρας lie καθώς και τα συμμετρικά γινόμενα και την συμμετρική άλγεβρα ενός διανυσματικού χώρου και αντίστοιχα μιας άλγεβρας lie. στη συνέχεια αποδεικνύουμε χρήσιμες προτάσεις με τανυστικη και συμμετρική άλγεβρα. επιπλέον αποδεικνύουμε ότι η συμμετρίκη άλγεβρας ενός διανυσματικού χώρου διάστασης n ειναι ισομορφη με την άλγεβρα των πολυωνύμων n μεταβλητών, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο διότι ξέρουνε μια βάση της άλγεβρας των πολυωνύμων n μεταβλητών.στη συνέχεια ορίζουμε την περιβάλλουσα Άλγεβρα μιας άλγεβρας lie και δίνουμε κάποιες σημαντικές προτάσεις και λήμματα που θα μας βοηθήσουν στην απόδειξη των Poincaré-Birkhoff-Witt που είναι και ο σκοπός της παρούσας πτυχιακής και δίνει ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα για την βάση της περιβάλλουσας άλγεβρας που είναι πολύ χρήσιμο θεώρημα σε ερευνητικό επίπεδο.Τεκμήριο Σενάρια συνεργατικής μάθησης: θεωρία και εφαρμογές στη μαθηματική εκπαίδευση(2024-02-22) Μυλωνάκης, Ιωάννης; Mylonakis, IoannisΣτη παρούσα εργασία βασικό θέμα αποτελούν τα σενάρια στη συνεργατική μάθηση. Αρχικά, γίνεται παρουσίαση του θεωρητικού μέρους το όποιο αποτελείται από τις θεωρίες μάθησης και τις δομές μνήμης και το πώς αποθηκεύει ο άνθρωπος πληροφορίες. Ο ρόλος της μνήμης είναι καθοριστικός στη μάθηση καθώς η συλλογή και η αποθήκευση γνώσεων κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος είναι σημαντική για τη συνεργασία μεταξύ των μαθητών αλλά και για την επιτυχία της διαδικασίας. Στη συνέχεια αναφερόμαστε στα βασικά χαρακτηριστικά καθώς και στα διαφορετικά είδη της συνεργατικής μάθησης. Στο επόμενο μέρος της εργασίας δίνουμε τον ορισμό του σεναρίου συνεργατικής μάθησης και εξηγούμε τις διάφορες λειτουργίες του. Στη συνέχεια αναφερόμαστε στα εσωτερικά και εξωτερικά σενάρια συνεργασίας τα οποία υποστηρίζουν τους μαθητές στη διαδικασία της μάθησης. Επιπλέον αναφέρουμε εφαρμόσιμα παραδείγματα Σεναρίων Συνεργατικής Μάθησης με Υποστήριξη Υπολογιστή που έχουν μελετηθεί σε τάξεις. Τέλος αναφερόμαστε ειδικά στη διδασκαλία των Μαθηματικών και πως μπορούν τα σενάρια να βοηθήσουν τη διδασκαλία των μαθητών και παρουσιάζονται πρόσφατες σχετικές μελέτες.Τεκμήριο Αναγνώριση εικόνων και ταξινόμηση στοιχείων(2024-02-19) Γκούντουβας, ΙωάννηςΤα τελευταία χρόνια τα πολυεπίπεδα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα γίνονται ένα εργαλείο µε πολλές εφαρµογές στην καθηµερινότητα του ανθρώπου, στο επίκεντρο αυτής της τεχνολογικής επανάστασης ϐρίσκεται η ϐαθιά µάθηση. γνωστές έννοιες από τα εφαρµοσµένα και υπολογιστικά µαθηµατικά κυρίως από τον απειροστικό λογισµό, την γραµµική άλγεβρα, την ϐελτιστοποίηση και την ϑεωρεία προσέγγισης παρέχουν την δυνατότητα σε µία µηχανή να δηµιουργήσει για την ίδια µία τεχνητή ευφυΐα µε σκοπό την επίλυση προβληµάτων που της ανατίθενται. αυτή η εργασία περιέχει µία αναφορά στις ϐασικές ιδέες που αποτελούν τη ϐάση της ϐαθιάς µάθησης από την οπτική των εφαρµοσµένων µαθηµατικών. δίνεται έµφαση σε τρία ϑεµελιώδη ερωτήµατα : τι είναι ένα ϐαθύ νευρωνικό δίκτυο; τι είναι η µέθοδος της στοχαστικής κλήσης; πως είναι ένα εκπαιδευµένο δίκτυο; παρουσιάζονται µε εικόνες οι ιδέες µε έναν σύντοµο κώδικα στην Python που δηµιουργεί και εκπαιδεύει ένα δίκτυο. αναφέρεται επίσης η χρήση λογισµικού τελευταίας τεχνολογίας για προβλήµατα ταξινόµησης εικόνων µεγάλης κλίµακας. στο τέλος της εργασίας, υπάρχουν αναφορές στην τρέχουσα ϐιβλιογραφία.Τεκμήριο Κυρτή ανάλυση και μέτρα κινδύνου(2019-11) Τσιόφα, ΑφροδίτηΣτην παρούσα εργασία ασχοληθηκαμε με την κυρτή ανάλυση και τα μέτρα κινδύνου.Μια αξιολόγηση κινδύνου είναι η συνδυασμένη προσπάθεια για εντοπισμό και ανάλυση μελλοντικών συμβάντων που ενδέχεται να επηρεάσουν αρνητικά τα άτομα, τα περιουσιακά στοιχεία ή και το περιβάλλον.Η διαδικασία εκτίμησης των κινδύνων μπορεί να είναι άτυπη σε μεμονωμένο κοινωνικό επίπεδο, να διαχειρίζεται οικονομικούς και οικιακούς κινδύνους.Ο κίνδυνος αγοράς είναι ο κίνδυνος ζημιών στις θέσεις που προκύπτουν από τις μεταβολές των τιμών της αγοράς.Τα πιο συχνά είδη κινδύνου αγορας είναι : κίνδυνος μετοχικού κεφαλαίου, κίνδυνος μεταβολής τιμων η των χρηματοπιστωτικών δεικτών.Ολες οι επιχειρήσεις αναλαμβάνουν κινδύνους με βάση δύο παράγοντες:την πιθανότητα να προκύψει μια δυσμενής περίσταση και το κόστος της περίστασης.Η διαχείριση κινδύνου είναι η μελέτη του τρόπου ελέγχου των κινδύνων και η εξισορρόπηση της πιθανότητας κέρδους.Οι κίνδυνοι μπορεί να προέρχονται από χρηματοπιστωτικες αγορές,απειλές από αποτελέσματα έργων, νομικές υποχρεώσεις, φυσικά αίτια και καταστροφές.Οι στρατηγικές για την διαχείριση απειλών περιλαμβάνουν την αποφυγή της απειλής η την μείωση της πιθανότητας απειλής .Οι μέθοδοι για την διαχείριση κινδύνου είναι ο προσδιορισμός απειλών, αξιολόγηση ευπάθειας κρίσιμων στοιχείων ενεργητικων σε συγκεκριμένες απειλές, προσδιορισμός προσδιορισμός κινδύνου, προσδιορισμός των τρόπων μείωσης των κινδύνων, προτεραιότητα στα μέσα μείωσης των κινδύνων.Μολις προσδιοριστούν οι κίνδυνοι πρέπει να εκτιμηθούν ως προς την βαρύτητα των επιπτώσεων τους και την πιθανότητα εμφάνισης.Η κυρτή ανάλυση μπορεί να εφαρμοστεί με τις κατάλληλες βελτιώσεις και αλλαγές για να καταστήσει το αποτέλεσμα των ειδικών ακριβέστερο.Τεκμήριο Τυχαίοι περίπατοι σε πεπερασμένες αβελιανές ομάδες(2022-03-04) Κατσαρού, ΕιρήνηΣτην εργασία αυτή μελετάμε τυχαίους περίπατους στις πεπερασμένες κυκλικές ομάδες. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε βασικές ιδιότητες των αλυσίδων Markov και των τυχαίων περίπατων, αναφέροντας πρώτα κάποιες βασικές κατανομές από τη θεωρία πιθανοτήτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε βασικά θέματα από την θεωρία ομάδων. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε το κεντρικό θεώρημα της εργασίας το οποίο είναι ένα αποτέλεσμα για την ταχύτητα σύγκλισης ενός τυχαίου περίπατου στην ομοιόμορφη κατανομή σε μια πεπερασμένη κυκλική ομάδα.Τεκμήριο Οι νόμοι των μεγάλων αριθμών(2023-10-10) Τσάτσατρη, Πετρούλα ΜαρίαΤο θέμα της πτυχιακής εργασίας αυτής βρίσκεται στη διασταύρωση δύο μεγάλων ερευνητικών τομέων: στην θεωρία μέτρου και στις πιθανότητες που παρουσιάζουν επίσης μεγάλο ενδιαφέρον για εφαρμογές. Κατά κύριο λόγο δίνεται έμφαση στους νόμους των μεγάλων αριθμών. Δηλαδή τον ασθενή και των ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει μία βασική περιγραφή των θεμελιωδών εννοιών που σχετίζονται με το Μέτρο, το Ολοκλήρωμα Lebesgue και τις ιδιότητές του (Μονοτονικό θεώρημα σύγκλισης, Λήμμα Fatou, Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης) καθώς είναι εμπλουτισμένο με παραδείγματα για την καλύτερη κατανόησή τους. Το δεύτερο κεφάλαιο περιέχει μία εισαγωγή στην μετροθεωρητική μοντελοποίηση δηλαδή μια ιστορική αναδρομή στον James Bernoulli και στις ακολουθίες του, στην αρχή του Borel και στις συναρτήσεις Rademacher. Έπειτα δίνονται τυχαία παραδείγματα που περιγράφονται με όρους θεωρίας μέτρου. Επίσης, γίνεται αναφορά στο πρώτο και δεύτερο λήμμα Borel-Cantelli. Το τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας αναλύει τι αντιπροσωπεύει πραγματικά η προσδοκώμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής περιέχει δύο χαρακτηριστικές ενότητες των εννοιών που παρουσιάζονται στα προηγούμενα κεφάλαια. Γίνεται ανάλυση στις τυχαίες μεταβλητές, στις προσδοκώμενες τιμές καθώς και την ανεξαρτησία.Τεκμήριο Ανάλυση Fourier σε πεπερασμένες αβελιανές ομάδες(2023-01-25) Δεληγιάννη, ΆνναΟ μετασχηματισμός Fourier είναι μια σημαντική μαθηματική έννοια και η μελέτη του είναι αντικείμενο της Αρμονικής Ανάλυσης. Σχετίζεται με την θεωρία αναπαραστάσεων ομάδων και έχει εφαρμογές σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και των θετικών επιστημών, όπως στις Διαφορικές Εξισώσεις και στην Επεξεργασία Σήματος. Μια αναπαράσταση είναι ένας τρόπος να δούμε την ομάδα G σαν μια ομάδα αυτομορφισμών ενός χώρου Banach. Ο σκοπός αυτής της μελέτης είναι να λάβουμε πληροφορίες για την ομάδα ή για κάποια αντικείμενα σχετικά με την ομάδα.Τεκμήριο Διακριτός και ταχύς μετασχηματισμός Fourier(2022-10-12) Παπακυριακόπουλος, ΔημήτριοςΣτην εν λόγω εργασία θα μιλήσουμε κατά κύριο λόγο για τον Διακριτό και τον Ταχύ Μετασχηματισμό Fourier. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό και στοχεύει στην όμαλη ένωση του αναγνώστη με το κύριο θέμα της εργασίας. Αρχικά, θα γίνει μια μικρή αναφορά στη ζωή του Jose Fourier και τον ρόλο που είχε στον κόσμο της επιστήμης. Εν συνεχεία, θα γίνει αναφορά σε ορισμένες βασικές έννοιες προερχόμενες από την Ανάλυση Fourier. Επίσης, θα δούμε πώς προέκυψε η ανάγκη της δημιουργίας του Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα μιλήσουμε, αρχικά για την τριγωνομετρική παρεμβολή και το τριγωνομετρικό πολυώνυμο. Στο δεύτερο μέρος του κεφαλαίου αυτού θα αναφερθούμε στον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier, πώς συνδέεται με το τριγωνομετρικό πολυώνυμο, τη χρησιμότητα του καθώς και τον σκοπό που υπηρετεί. Στο τρίτο κεφάλαιο και έχοντας αναφερθεί και ορίσει τον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier, αντικείμενο μελέτης μας θα είναι ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier. Θα αναφερθούμε στις ανάγκες που τον δημιούργησαν και κατά πόσο σχετίζεται με τον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier. Είναι ένας νέος μετασχηματισμός ή κατα κάποιο τρόπο κάνει την ίδια δουλειά με τον Διακριτό Μετασχηματισμό· Και αν ναι, ποιες είναι οι διαφορές τους; Στο τέταρτο κεφάλαιο θα αναφερθούμε στην Συνέλιξη. Θα δούμε τι ακριβώς είναι, πως ορίζεται και πως υπολογίζεται με τη χρήση TMF, αλλά και ορισμένες εφαρμογές της. Τέλος, στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο περιέχονται οι κώδικες για τον Διακριτό και τον Ταχύ Μετασχηματισμό Fourier.Τεκμήριο Εισαγωγή στην θεωρία μοντέλων: το θεώρημα ισομορισμού του Cantor(2021-10-08) Αναγνώστου, ΑριστοτέληςΗ Θεωρία Μοντέλων µελετά αφηρηµένες µαθηµατικές δοµές, όπως οι οµάδες, οι διατάξεις, οι τοπολογικοί χώροι, τα σώµατα, και τις ιδιότητες αυτών, µε την χρήση εργαλείων του πρωτοβάθµιου Κατηγορηµατικού Λογισµού. Για παϱάδειγµα, στην περίπτωση της ϑεωρίας των διατάξεων, ένα ϐασικό αποτέλεσµα της Θεωρίας Μοντέλων είναι ότι οποιεσδήποτε δύο πυκνές γραµµικές διατάξεις χωρίς άκρα ικανοποιούν τις ίδιες (πρωτοβάθµιες) ιδιότητες, οι οποίες είναι εκφράσιµες στην γλώσσα των διατάξεων. Ειδικότερα, καµία µαθηµατική ιδιότητα που διατυπώνεται µε την χρήση των ϐασικών λογικών συµβόλων και του συµβόλου της διάταξης δεν µπορεί να ξεχωρίσει την δοµή ⟨Q, <⟩ από την ⟨R, <⟩. ∆ύο τέτοιες δοµές τις ονοµάζουµε στοιχειωδώς ισοδύναµες. ΄Ενα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι ότι δύο αλγεβρικά κλειστά σώµατα ίδιας χαρακτηριστικής είναι στοιχειωδώς ισοδύναµα µεταξύ τους. Συνεπώς, στην ειδική περίπτωση που µας ενδιαφέρει το κατά πόσον µια (πρωτοβάθµια) πρόταση ισχύει στο σώµα των αλγεβρικών αριθµών µπορούµε κάλλιστα να την εξετάσουµε, ισοδύναµα, στο σώµα των µιγαδικών αριθµών, αλλά και το αντίστροφο. Ιστορικά η µελέτη της Θεωρίας Μοντέλων ξεκινάει στις αρχές του 20ου αιώνα µε ένα από τα πρώτα αποτελέσµατα της ϑεωρίας να εµφανίζεται στην δηµοσίευση του Leopold Löwenheim το 1915, το οποίο ήταν µια πρώιµη µορφή του γνωστού ϑεωρήµατος Löwenheim-Skolem (2.11). Η επιρροή του Alfred Tarski ήταν καθοριστική µέσω των διαφόρων σηµαντικών αποτελεσµάτων που έδωσε, µε σηµαντικότερο τον αυστηρό ορισµό της αλήθειας σε µια µαθηµατική δοµή. Τέλος το ϑεώρηµα Πληρότητας (2.3) του Gödel (1930) είναι ένας σηµαντικός πυλώνας της ϑεωρίας, αλλά και γενικότερα της Μαθηµατικής Λογικής. Με το πέρασµα των δεκαετιών, η Θεωρία Μοντέλων έχει εξελιχθεί σε µια πολύ πλούσια ϑεωρία µε εφαρµογές τόσο στη Μαθηµατική Λογική, όσο και σε άλλα µαθηµατικά πεδία όπως η ΄Αλγεβρα, η Ανάλυση και η Γεωµετρία. Εν γένει υπάρχουν δύο παραδοσιακά µοτίβα µελέτης: (i) Ξεκινάµε από µια συγκεκριµένη µαθηµατική δοµή, και χρησιµοποιώντας τεχνικές της Θεωρίας Μοντέλων, εξάγουµε νέες πληροφορίες για την δοµή και για τα σύνολα που ορίζονται σε αυτήν. (ii) Εξετάζουµε κάποιες (αξιωµατικές) ϑεωρίες µε µαθηµατικό ενδιαφέρον και αποδεικνύουµε γενικά δοµικά ϑεωρήµατα για τα µοντέλα τους, δηλαδή για τις µαθηµατικές δοµές στις οποίες ικανοποιούνται αυτά τα αξιώµατα. ΄Ενα παράδειγµα του πρώτου µοτίβου είναι η µελέτη της δοµής των πραγµατικών αριθµών και των ορίσιµων υποσυνόλων τους. Παραδείγµατα του δεύτερου µοτίβου αναφέρθηκαν παραπάνω. Στην παρούσα εργασία ϑα χρησιµοποιηθεί ο συνδυασµός και των δύο µοτίβων. Αφού γίνει µια σύντοµη αναφορά στα εργαλεία του πρωτοβάθµιου Κατηγορηµατικού Λογισµού, καϑώς και µια σύντοµη εισαγωγή στην Θεωρία Μοντέλων, ϑα καταλήξουµε στην παρουσίαση του Θεωρήµατος Ισοµορφισµού του Cantor, στην απόδειξη του µε την χρήση της µεθόδου «µπρος-πίσω» (Back-and-Forth method) και σε κάποια ϐασικά πορίσµατά του, όπως ότι η δοµή ⟨Q, <⟩ είναι στοιχειωδώς ισοδύναµη µε την ⟨R ,<⟩ .Τεκμήριο Οι λύσεις εξισώσεων 2ου, 3ου και 4ου βαθμού: μία ιστορική αναδρομή(2022-09) Παγώνη, ΜαρίαΣε αυτή την πτυχιακή εργασία παρουσιάζονται η δευτεροβάθμια, η κυβική και η τεταρτοβάθμια εξίσωση. Στο πρώτο μέρος κάνω μια μικρή αναφορά σε κάποιες βασικές έννοιες των μαθηματικών, ώστε να γίνει πιο κατανοητή η ανάγνωση των επόμενων κεφαλαίων. Επίσης, στο πρώτο μέρος επέλεξα να ανφέρω λίγα πράγματα για, αν όχι τον μεγαλύτερο μαθηματικό της Ιστορίας σίγουρα έναν από τους μεγαλύτερους, τον Πυθαγόρα. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζω την ανακάλυψη και την εξέλιξη αυτών των εξισώσεων στο πέρασμα των αιώνων. Ενώ στο τελευταίο κεφάλαιο αυτού του μέρους επέλεξα να αναφέρω λίγα λόγια για ορισμένους μαθηματικούς της Αναγέννησης που σημάδεψαν την πορεία των εξισώσεων αυτών. Τέλος, στο τρίτο μέρος παρουσιάζω την επίλυση αυτών των εξισώσεων και ορισμένα παραδείγματα, σύμφωνα πάντα με την έρευνα που έκανα και φυσικά τις υποδείξεις του καθηγητή μου.Τεκμήριο Αλυσίδες Markov και θεωρία πινάκων(2023-02-10) Χρυσόστομος, ΣαρηγιαννίδηςΤο θέμα της εργασίας αυτής βρίσκεται στη διασταύρωση δύο μεγάλων ερευνητικών τομέων: της εφαρμοσμένης πιθανότητας και της αριθμητικής ανάλυσης που παρουσιάζουν επίσης μεγάλο ενδιαφέρον για εφαρμογές. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει μία βασική περιγραφή των θεμελιωδών εννοιών που σχετίζονται με τις αλυσίδες Markov, καθώς είναι εμπλουτισμένο με παραδείγματα και γραφήματα για την καλύτερη κατανόησή τους. Το δεύτερο κεφάλαιο περιέχει μία συστηματική επεξεργασία των δομημένων πινάκων που απαιτούνται για την ανάλυση και την επίλυση στοχα- στικών προβλημάτων. Ορισμένες από τις κατηγορίες τέτοιων πινάκων που παρουσιάζονται αναλυτικά, είναι οι Κυκλικοί, οι 𝑧������-κυκλικοί, οι Toeplitz και οι Τριγωνικοί Toeplitz πίνακες. Επίσης, γίνεται αναφορά και σε ορισμένους αλγορίθμους, που χρησιμοποιούνται στην αντιμετώπιση σύνθετων υπολογιστικών προβλημάτων, που αφορούν τέτοιους πίνακες, καθώς και στο υπολογιστικό τους κόστος. Το τρίτο κεφάλαιο της εργασίας περιέχει δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμογής των εννοιών που παρουσιάζονται στα δύο προηγούμενα κεφάλαια. Γίνεται ανάλυση του επιτραπέζιου παιχνιδιού "Φιδάκι" το οποίο αποτελεί σύστημα αλυσίδας Markov. Έπειτα αναλύουμε ένα βασικό πρόβλημα της Θεωρίας Ουρών, "Το πρόβλημα της συντομότερης ουράς", με τη χρήση της Wiener-Hopf παραγοντοποίησης και άπειρων Toeplitz πινάκων.Τεκμήριο Οι υπερπραγματικοί αριθμοί και οι εφαρμογές τους(2022-10-10) Κότσαρη, ΧρυσούλαΜελετήθηκαν οι απείρως μικροί και οι μεγάλοι αριθμοί, το ιστορικό υπόβαθρο, τα απειροστά ως μεταβλητές ποσότητες, η ιδιότητα ένα σύνολο να είναι μεγάλο, τα φίλτρα, η κατασκευή των υπερπραγματικών αριθμών ως υπερδύναμη και η μεγέθυνση των συνόλων. O δακτύλιος των ακολουθιών των πραγματικών αριθμών, η κατασκευή των υπερπραγματικών αριθμών, η εμφύτευση του R στο *R. Η μεγέθυνση συνόλων και η επέκταση συναρτήσεων, η μεγέθυνση σχέσεων και η μοναδικότητα του υπερπραγματικού συστήματος, η σπουδαιότατη αρχή της μεταφοράς, οι σχεσιακές δομές, η γλώσσα μιας σχεσιακής δομής, οι μετασχηματισμοί προτάσεων και η αιτιολόγηση της μεταφοράς. Παρουσιάζονται οι απειριόριστοι, οι περιορισμένοι, οι απειροστοί και οι αισθητοί αριθμοί. Ορίζονται τα φωτοστέφανα, οι γαλαξίες, οι σκιές και η πληρότητα του στο R. Η μελέτη ολοκληρώνεται με τη σύγκλιση των ακολουθιών, με τις ακολουθίες Cauchy, τις συνεχείς συναρτήσεις και τα όρια αυτών. Εξετάζεται από τη σύγχρονη απειροστή οπτική η διαφόριση και η παραγώγιση. Η υπερπραγματική οπτική αναδεικνύει την εναλλακτική διαδικασία διαμερισμού του [a, b] σε υποδιαστήματα απειροστού πλάτους, σύμφωνα με την αντίληψη του Leibniz, εξετάζοντας αυτή την προσέγγιση από τον τυπικό ορισμό του ολοκληρώματος Riemann.Τεκμήριο Γεωμετρική αναπαράσταση των συνεχών κλασμάτων(2022-01-15) Μιχαλάτος, ΔιονύσιοςΕισάγοντας πρώτα βασικές έννοιες και ορισμούς όπως η θέση ενός σημείου σε σχέση με μία ευθεία της μορφής y=ax (όπου a η κλίση της ευθείας), την κλίση του σημείου αυτού και θεωρήματα σχετικά με τις προαναφερόμενες έννοιες , σκοπός είναι να συστηθεί στον αναγνώστη η έννοια του συνεχούς κλάσματος , το ανάπτυγμα πραγματικών αριθμών στην μορφή αυτή και βασικά θεωρήματα αυτού του αναπτύγματος. Περιγράφεται η προσπάθεια προσέγγισης των άρρητων αριθμών από συγκλίνουσες ρητούς και αποδεικνύεται ότι οι βέλτιστες προσεγγίσεις των άρρητων δίνονται από τα αναγωγίματα και τα δευτεροβάθμια αναγωγίματα του αναπτύγματος και μελετάται η γεωμετρική απεικόνιση της προσπάθειας αυτής.Τέλος, εξετάζεται το προνόμιο της περιοδικότητας του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα όπου το έχουν μόνο οι τετραγωνικοί άρρητοι και την εφαρμογή ιδιοτήτων του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα της τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο στην λύση της «εξίσωσης Fermat - Pell»Τεκμήριο Εισαγωγή στις αλυσίδες Markov σε διακριτό χρόνο: Θεωρία Δυναμικού και Martingales(2022-12-28) Δουγιάκη, ΕυδοκίαΑρχικά, γίνεται μία εισαγωγή/ υπενθύμιση σε κάποιες βασικές έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό χρόνο, ώστε να είναι πιο εύκολη η εισαγωγή στις αλυσίδες Markov. Οι αλυσίδες Markov είναι στοχαστικά συστήματα που έχουν μία συγκεκριμένη ιδιότητα και γι αυτό διαφέρουν από τα απλά. Έτσι, μέσα από τους ορισμούς, τα θεωρήματα και τα παραδείγματα γίνεται κατανοητή τόσο η διαφορά όσο και η χρησιμότητά τους. Στη συνέχεια, θα αναφερθούμε στη θεωρία δυναμικού, με βασικό της στοιχείο να είναι οι πιθανότητες απορρόφησης οι οποίες μας βοηθούν να κατανοήσουμε τη συνάρτηση δυναμικού η οποία είναι το κύριο εργαλείο στη θεωρία δυναμικού. Έπειτα, θα ασχοληθούμε με τις διαδικασίες Martingales. Οι Martingales αποτελούν μία πολύ σημαντική κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών, αφενός διότι έχουν θεωρητικό ενδιαφέρον και αφετέρου επειδή εμφανίζονται σε πολλά πεδία εφαρμογών. Αναπτύσσοντας τη θεωρία τους και ταυτόχρονα παρουσιάζοντας κάποιες επιλογές από τις εφαρμογές τους γίνεται αντιληπτή η σπουδαιότητά τους. Τέλος, γίνεται μια εισαγωγή στις αναλλοίωτες κατανομές οι οποίες κατά κάποιον τρόπο μπορούμε να πούμε ότι είναι οι φυσικές καταστάσεις μίας μαρκοβιανής αλυσίδας.Τεκμήριο Η αξιοποίηση των τεχνολογιών της πληροφορίας και των επικοινωνιών στη διδασκαλία των τριγώνων στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση με την βοήθεια των επιπέδων van Hiele(2022-02-22) Ζαράνης, ΝικόλαοςΗ παρούσα εργασία αποτελεί μια προσπάθεια αξιοποίησης των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών (Τ.Π.Ε.) στη διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Ε΄ τάξη του Δημοτικού Σχολείου. Συγκεκριμένα, σχεδιάστηκε μια διδακτική παρέμβαση με εκπαιδευτικές δραστηριότητες με τη βοήθεια των Τ.Π.Ε. ώστε να ελέγξουμε αν οι Τ.Π.Ε. συμβάλουν στην ενίσχυση της διδασκαλίας της Γεωμετρίας. Ο σχεδιασμός της διδακτικής παρέμβασης έγινε σύμφωνα με τα επίπεδα της θεωρίας van Hiele. Για τις ανάγκες του ερευνητικού μέρους της εργασίας έγινε σύγκριση της επίδοσης των μαθητών της πειραματικής ομάδας, οι οποίοι διδάχθηκαν Γεωμετρία σύμφωνα με τα επίπεδα της θεωρίας van Hiele και με τη χρήση εφαρμογών Τ.Π.Ε., με τους μαθητές της ομάδας ελέγχου, που διδάχθηκαν Γεωμετρία σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων (Υ.ΠΑΙ.Θ.). Η εργασία πραγματοποιήθηκε σε τέσσερα τμήματα της Ε΄ τάξης Δημοτικού Σχολείου της Κρήτης, από τα οποία δύο αποτέλεσαν την πειραματική ομάδα και δύο την ομάδα ελέγχου. Η συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκε με pre-tests και post-tests, τα οποία σχεδιάστηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να αξιολογούν την κατάκτηση των πέντε δεξιοτήτων-ικανοτήτων γεωμετρίας του Hoffer στα δυο πρώτα επίπεδα της θεωρίας van Hiele.Τεκμήριο Η θεωρία του Floquet για γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές(2022-10-13) Θεολόγου, ΓεώργιοςΣε αυτή την πτυχιακή εργασία, παρουσιάζουμε τη Θεωρία του Floquet η οποία αποτελεί μια αποτελεσματική μέθοδο επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με περιοδικούς συντελεστές. Η διατριβή συνδυάζει στοιχεία από διαφορετικούς κλάδους των Μαθηματικών, γεγονός που γίνεται αντιληπτό στο πρώτο κεφάλαιο όπου παραθέτουμε ορισμούς και θεωρήματα (με απόδειξη ή χωρίς) που είναι απαραίτητα στη μελέτη μας. Στο δεύτερο κεφάλαιο καλύπτουμε τη βασική θεωρία ομογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και αποδεικνύουμε το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης καθώς επίσης και μια πρόταση που μας επιτρέπει από μια δεδομένη λύση του συστήματος να κατασκευάσουμε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση, τουλάχιστον για 2x2 πίνακες. Το τρίτο κεφάλαιο βρίσκεται στο επίκεντρο της θεωρίας και διαπραγματεύεται το Θεώρημα του Floquet το οποίο προσφέρει μια κανονική μορφή για κάθε θεμελιώδη πίνακα αυτών των περιοδικών συστημάτων και το Θεώρημα υποβιβασμού κατά Lyapunov το οποίο παρέχει ένα τρόπο μετατροπής ενός συστήματος με περιοδικούς συντελεστές σε ένα ισοδύναμο σύστημα με σταθερούς συντελεστές. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις έννοιες των χαρακτηριστικών εκθετών Floquet και τους πολλαπλασιαστές τους, μελετάμε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο επιλύουμε δύο προβλήματα που βοηθούν στην κατανόηση του τρόπου εφαρμογής της προτεινόμενης μεθόδου. Πιο συγκεκριμένα, επιλύουμε ένα απλό 2x2 σύστημα και ακολούθως μελετάμε την συμπεριφορά των λύσεων μιας δευτεροτάξιας εξίσωσης ως προς την ευστάθεια της.